Puissances

1. Définition

Une puissance d'un nombre est le résultat du produit de ce nombre plusieurs fois par lui-même.

an est égal au produit de n facteurs égaux à a : on fait n multiplications de a

an se prononce « a puissance n » ou « a exposant n »

  • Exemple :
    • 54 : « 5 puissance 4 »
    • 54 = 5 x 5 x 5 x 5
    • 54 = 625

2. Cas particuliers

2.1 Puissance d'exposant 0

  • La puissance 0 d'un nombre d'un nombre non nul est égale à 1
  • a0 = 1

2.2 Puissance d'exposant 1

  • La puissance 1 d'un nombre d'un nombre est égale à ce nombre
  • a1 = a

2.3 Puissance d'exposant 2

  • La puissance 2 d'un nombre d'un nombre est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre
  • La puissance 2 d'un nombre est appelé le « carré d'un nombre »
  • a2 = a x a
  • Exemple :
    • 52 : « carré de 5 »
    • 52 = 5 x 5
    • 52 = 25

Un carré parfait est un nombre obtenu en multipliant un nombre entier par lui-même.

16 premiers carrés parfaits
Nombre 0 1 2 3
Carré 0 1 4 9
Nombre 4 5 6 7
Carré 16 25 36 49
Nombre 8 9 10 11
Carré 64 81 100 121
Nombre 12 13 14 15
Carré 144 169 196 225

2.4 Puissance d'exposant 3

  • La puissance 3 d'un nombre d'un nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre
  • La puissance 3 d'un nombre est appelé le « cube d'un nombre »
  • a3 = a x a x a
  • Exemple :
    • 53 : « cube de 5 »
    • 53 = 5 x 5 x 5
    • 53 = 125

Un cube parfait est un nombre obtenu en multipliant trois fois un nombre entier par lui-même.

12 premiers cubes parfaits
Nombre 0 1 2 3
Cube 0 1 8 27
Nombre 4 5 6 7
Cube 64 125 216 343
Nombre 8 9 10 11
Cube 512 729 1000 1331

2.5 Puissance d'exposant négatif

  • La puissance d'exposant négatif non nul d'un nombre, est égal à l'inverse de la puissance d'exposant positif de ce nombre
a-n = 1
an
  • Exemple :
    • 5-4 : « 5 puissance moins 4 »
    • 5-4 = 1 / 54
    • 5-4 = 1 / (5 x 5 x 5 x 5)
    • 5-4 = 1 / 625
    • 5-4 = 0,0016

3. Formules de calculs

3.1 Produit de puissances d'un même nombre

  • Le produit de puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est la somme des exposants
  • an x am = an + m
  • Exemple :
    • 52 x 53 = 52 + 3
    • 52 x 53 = 55
    • 52 x 53 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5
    • 52 x 53 = 3125

3.2 Quotient de puissances d'un même nombre

  • Le quotient de puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est la différence des exposants
an = an - m
am
  • Exemple :
    • 54 / 52 = 54 - 2
    • 54 / 52 = 52
    • 54 / 52 = 5 x 5
    • 54 / 52 = 25

3.3 Puissance d'une puissance d'un nombre

  • La puissance d'une puissance d'un nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est le produit des exposants
  • (an)m = an x m
  • Exemple :
    • (52)3 = 52 x 3
    • (52)3 = 56
    • (52)3 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
    • (52)3 = 15625

3.4 Puissance d'un produit

  • La puissance d'un produit est égal au produit de la puissance de chacun des nombres de ce produit
  • (a x b)n = an x bn
  • Exemple :
    • (2 x 3)2 = 22 x 32
    • (2 x 3)2 = (2 x 2) x (3 x 3)
    • (2 x 3)2 = 4 * 9
    • (2 x 3)2 = 36

3.5 Puissance d'un quotient

  • La puissance d'un quotient est égal au quotient de la puissance de chacun des nombres de ce quotient
(a / b)n = an
bn
  • Exemple :
    • (8 / 4)2 = 82 / 42
    • (8 / 4)2 = (8 x 8) / (4 x 4)
    • (8 / 4)2 = 64 / 16
    • (8 / 4)2 = 4
Mise à jour le 2/8/2017
Morgan PITTE
Infirmier Cadre de santé
Rédaction EspaceSoignant.com
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